C++如何判断一个正整数是否为三角形数 (Triangular Number)

如何高效判断一个正整数是不是三角形数？直接写个循环从1开始逐个试当然可以，但遇到十的十二次方这种量级，运算时间就让人头疼了。其实这是一个标准的二次方程求解问题，完全可以用数学判别法一步到位。

三角形数的定义很简单：能写成 k(k+1)/2 形式的正整数，其中 k 也是正整数。比如 1、3、6、10、15 都是——它们恰好能排成等边三角形点阵。关键是把等式变形为 k² + k − 2n = 0，解出 k = (−1 + √(1 + 8n)) / 2。只要这个 k 是正整数，n 就是三角形数。

什么是三角形数，以及为什么不能用循环暴力判断

一个正整数 n 是三角形数，当且仅当存在某个正整数 k，使得 n = k*(k+1)/2。比如 1、3、6、10、15 都是——它们能排成等边三角形点阵。

暴力方法是让 k 从 1 开始递增，算 k*(k+1)/2 直到 ≥ n。但对大数（比如 1e12）会超时，而且没必要：这是个二次方程求解问题，可直接用数学判别法。

核心思路是把等式变形：k² + k − 2n = 0，解得 k = (−1 + √(1 + 8n)) / 2。只要这个 k 是正整数，n 就是三角形数。

用 sqrt 判断是否为完全平方数（关键一步）

C++ 的 std::sqrt 返回 double，浮点误差会让 sqrt(1 + 8n) 看似整数实则略小或略大，直接取整再平方验证极易出错。

正确做法是：先算 long long disc = 1 + 8LL * n（注意用 8LL 防溢出），再用 sqrt 得近似根，四舍五入取整为 root，最后严格检查 root * root == disc。

• disc 必须是 long long，否则 n > 2.7e18 时 1 + 8*n 溢出 int 或 unsigned long
• 不要用 (int)round(sqrt(disc)) —— double 对大于 2^53 的整数无法精确表示，round 失效
• 推荐用 llround(sqrt(disc)) 或更稳妥的：先转 long long 再微调，比如 root = static_cast(std::sqrt(disc) + 0.5);

完整判断函数及边界处理

以下是一个生产可用的 C++ 函数：

bool isTriangular(long long n) {
    if (n <= 0) return false;
    long long disc = 1 + 8LL * n;
    long long root = static_cast(std::sqrt(static_cast(disc)) + 0.5);
    if (root * root != disc) return false;
    return (root & 1) == 1; // root 必须是奇数，因为 k = (root - 1) / 2 要为整数
}

注意最后一步：root 是 √(1 + 8n)，而 k = (root − 1) / 2 必须是正整数，所以 root 必须是奇数且 ≥ 3。单独检查 (root & 1) == 1 比做除法更安全（避免除零或负数）。

常见误判点：

• 输入 n = 0 或负数——按定义三角形数从 1 开始，必须排除
• 用 int 存 disc——n = 1e9 时 disc ≈ 8e9，超出 int 上限（约 2.1e9）
• 忽略 root 奇偶性——例如 n = 2 时 disc = 17，root = 4，4*4 ≠ 17，自然被拦住；但若浮点误差导致 root = 5 却没检查奇偶，就会错误放行

性能与替代方案：什么时候该用二分而不是开方

对单次查询，sqrt 方案是 O(1)，比 O(log n) 的二分快；但若在嵌入式环境或没有 sqrt 硬件支持的平台（如某些 MCU），或者编译器对 double 支持弱，二分更可靠。

二分写法要点：

• 下界 l = 1，上界 r = std::min(n, 2000000LL)（因为 k*(k+1)/2 ≥ n ⇒ k ≈ √(2n)，所以 r 取 sqrt(2n)+10 更准，但直接设上限也行）
• 每次算 mid * (mid + 1) / 2，注意 mid * (mid + 1) 可能溢出，应写成 mid / 2 * (mid + 1) 或用 __int128（GCC）
• 标准库无现成函数，必须手写，不如开方简洁

实际项目中，只要 n 在 long long 范围内且不涉及极端嵌入式，优先用开方判别法——但务必处理好类型、溢出和奇偶校验。