C++快速幂算法实现与优化技巧

std::pow不适用于整数快速幂，因其转浮点导致精度误差且不支持取模；应手写fast_pow，核心是二进制拆分指数、每次乘法后取模、先对base取模防溢出。

为什么 pow 不能直接用于整数快速幂

标准库的 std::pow 是为浮点数设计的，输入 int 也会先转成 double，再调用浮点幂函数——这会引入精度误差（比如 pow(10, 9) 可能返回 999999999 或 1000000001），且不支持取模。竞赛、密码学或大数场景下，你真正需要的是「整数底数 + 整数指数 + 模数」的三元组合运算。

• 别对 long long 调用 std::pow 后强制转回整型——结果不可靠
• 指数为 0 时，任何非零底数结果应为 1；底数为 0 且指数为 0 是未定义行为，需提前判断
• 如果不需要模运算，仍建议手写，避免隐式类型提升和浮点误差

手写 fast_pow 的核心循环怎么写才安全

经典二分思想：把指数拆成二进制，每次检查最低位是否为 1，是则累乘当前幂次的底数，然后底数自乘、指数右移。关键在溢出控制和边界处理。

• 必须用 long long 存中间结果，哪怕输入是 int——a * a 容易溢出
• 模运算要放在每次乘法后：res = (res * base) % mod，不能等最后再取模
• 右移用 exp >>= 1，别用 exp /= 2（虽等价但语义不清，且对负数行为不同）
• 示例片段：

  long long fast_pow(long long base, long long exp, long long mod) {
      long long res = 1;
      base %= mod;  // 先取模，防 base >= mod
      while (exp > 0) {
          if (exp & 1) res = (res * base) % mod;
          base = (base * base) % mod;
          exp >>= 1;
      }
      return res;
  }

当模数是 1 或负数时会发生什么

模数为 1 时，所有结果都应为 0（除了 0^0 这种特殊情况）；但若代码没提前判断，base %= mod 会导致除零错误（因为 % 1 合法，但 % 0 不合法）。更隐蔽的是负模数——C++ 中 a % b 符号取决于被除数，不是数学意义的非负剩余。

• 模数必须大于 0，函数入口应加断言：if (mod <= 0) throw std::invalid_argument("mod must be positive");
• 不要依赖 % 得到 [0, mod) 区间结果；如需非负余数，用 ((x % mod) + mod) % mod
• 指数为负？整数快速幂不处理负指数——那是浮点或逆元的事，别混用

递归写法 vs 迭代写法，哪个更容易出错

递归写法简洁，但栈深度随指数位数增长（最多约 64 层），一般没问题；真正危险的是忘记处理 exp == 0 的 base case，或递归调用时没对指数做整除导致死循环。

• 迭代写法更省内存、无栈溢出风险，推荐生产环境使用
• 递归版本中，exp / 2 必须用整除（exp >> 1 更安全），否则小数指数会卡住
• 两者性能差异极小，现代编译器对循环展开优化很好，不必纠结“递归更优雅”

实际用的时候，最常漏掉的是 base %= mod 这一步——尤其当 base 接近 LLONG_MAX 时，第一次 base * base 就溢出，后面全错。这个细节没有警告，也难调试。