各进制之间的转换

进制转换这东西，说难不难，说简单也不简单——很多初学者第一次接触时，总觉得规则绕来绕去，容易搞混。其实核心就一条：无论二进制、八进制还是十六进制，它们与十进制之间的转换逻辑都是相通的，只不过基数不同而已。今天咱们就系统地把这些转换规则捋一遍，配上实例，保证看完就能上手。

一、二进制与十进制之间的转换

1、二进制转十进制（整数和小数方法一样，从最后一位算起，每一位上的数乘以2的几次方，次数由该数字所在位置决定，从零位开始，最后相加）

例：01101011.001 转十进制

1乘2的-3次方=0.125
0乘2的-2次方=0
0乘2的-1次方=0
1乘2的0次方=1
1乘2的1次方=2
0乘2的2次方＝0
1乘2的3次方＝8
0乘2的4次方＝0
1乘2的5次方＝32
1乘2的6次方＝64
0乘2的7次方＝0

然后：1+2+0+8+0+32+64+0＝107.125，所以 01101011＝107。

2、十进制转二进制

整数部分用“除2取余法”：不断除以2，记录余数，直到商为0，然后将余数反向排列。

例：整数23转二进制

23除2商11余1
11除2商5余1
5除2商2余1
2除2商1余0
1除2商0余1

余数反向排列：23＝10111。

小数部分用“乘2取整法”：将小数部分乘以2，取整数部分，剩下的小数继续乘以2，直到小数部分为0。如果永远不为0，就按照精度要求“0舍1入”（类似于十进制四舍五入）。读数时从第一次取出的整数开始读到最后。

例：0.125转二进制

0.125×2＝0.25，整数部分0，小数部分0.25；
0.25×2＝0.5，整数部分0，小数部分0.5；
0.5×2＝1.0，整数部分1，小数部分0.0；
从第一位读起，0.125＝0.001。

所以 23.125 转二进制就是 10111.001。

二、二进制与八进制之间的转换

原理其实还是基于二进制与十进制的转换。这里用到“取三合一法”：以小数点为界，向左（或向右）每三位二进制数取成一位，将这三位按权相加，得到的就是一位八进制数。如果位数不够，就在最高位或最低位补0凑足三位。

为什么要用三位二进制表示一位八进制？因为三位二进制最大是111，对应的十进制是7，正好能表示0～7。

1、二进制转八进制

例：1100100 转为八进制

先拆分成三位一组：001 100 100

0×2²+0×2¹+1×2⁰=1
1×2²+0×2¹+0×2⁰=4
1×2²+0×2¹+0×2⁰=4

依次读下来就是144，所以1100100＝144。

2、八进制转二进制

把每位八进制数直接替换成对应的三位二进制数即可：

0=000  1=001  2=010  3=011  4=100  5=101  6=110  7=111

例：将八进制数653524转换为二进制

6→110，5→101，3→011，5→101，2→010，4→100，所以结果为 110101011101010100。

三、二进制与十六进制之间的转换

思路与八进制类似，但这里是用四位二进制数表示一位十六进制数。四位二进制最大1111对应十进制15，正好对应十六进制的F（0～F）。

1、二进制转十六进制

例：1100100 拆分 0110 0100

0110＝6，0100＝4，所以1100100＝64。

2、十六进制转二进制

对照表如下：

1-0001  2-0010  3-0011  4-0100  5-0101  6-0110  7-0111
8-1000  9-1001  A-1010  B-1011  C-1100  D-1101  E-1110  F-1111

转换时直接逐位替换即可。

四、十进制与十六进制之间的转换

算法和二进制与十进制之间的转换完全一样，只是基数从2变成了16。

1、十进制转十六进制

例：十进制数123转十六进制

123÷16＝7 余 B（11），7÷16＝0 余7，所以结果是7B。

2、十六进制转十进制

例：十六进制数 2AF5

第0位：5 × 16⁰ = 5
第1位：F × 16¹ = 240
第2位：A × 16² = 2560
第3位：2 × 16³ = 8192
5+240+2560+8192 = 10997

所以2AF5＝10997。