二阶数列的数列通项公式

数列通项公式的二阶数列

根据一阶递归数列的概念，我们可以定义同时包含an+2、an+1、an的递推式为二阶数列。与一阶数列相比，二阶数列的通项公式更加复杂。为了方便变形，让我们先来解释二阶数列的简单形式：

an+2 = A * an+1 +B * an ， （ 同样，A,B常系数） 基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项

原式复合： 令 原式变形后为这种形式 an+2 - ψ * an+1 = ω （an+1 - ψ * an）

将该式与原式对比 ，可得

ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B

通过解这两式可得出 ψ与ω的值，

令bn = an+1 - ψ*an ， 原式就变为bn+1 = ω *bn 等比数列，可出bn 通项公式bn= f (n) ,

通过给定的等式an+1 - ψ*an = f(n)，我们可以观察到这个式子实际上是一阶数列的定义。这个式子只涉及到an+1和an两个数列变项，因此可以将其视为“降阶”，将一个二阶数列化为一阶数列，进而解决问题。

已知某数列的二次二阶递推公式通项

A(n+1)=A(n)+A(n-1)-2A(n)*A(n-1)

变形为1-A(n+1)=(1-An)(1-A(n-1))

令Bn=1-An，得到

B(n+1)=Bn*B(n-1)

如果能保证Bn>0，则这里可以两边取对数得到lgB(n+1)=lgBn+lgB(n-1)

然后令Cn=lgB(n+1)，则Cn是变成斐波那契数列，以下略

如果不能保证Bn>0，则观察B3=B2B1

B4=(B2)^2*B1

B5=(B2)^3*(B1)^2

B6=(B2)^5*(B1)^3

注意Bn=(B2)^x*(B1)^y

显然x,y都是菲波那契数列，以下略

（关于菲波那契数列，可以在网上搜，它的通项比较复杂，这里没写）

注意用上面的方法解出来的结果可能是Cn或者Bn的，需要最后进行转换An=1-Bn，别忘记了

二阶递推公式怎么推通项公式？

a(n+1)+pan+qa(n-1)=0

设a(n+1)+xan=y[an+xa(n-1)]

a(n+1)+(x-y)an-xya(n-1)=0

x-y=p

xy=-q

x1=p+√（p^2-4q）,y1=√（p^2-4q）,

x2=p-√（p^2-4q）,y2=-√（p^2-4q）,

a(n+1)+x1an=y1[an+x1a(n-1)]

a(n+1)+x2an=y2[an+x2a(n-1)]

两式相除：

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=(y1/y2){[an+x1a(n-1)]/[an+x2a(n-1)]}

设bn=[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]

bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)

bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2+x1a1]/[a2+x2a1]

[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=b1(-1)^(n-1)

a(n+1)+x1an=b1[a(n+1)+x2an](-1)^(n-1)

=[b1(-1)^(n-1)]a(n+1)+[b1(-1)^(n-1)]x2an

[1-b1(-1)^(n-1)]a(n+1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an

[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)

[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)

……

[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3

[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2

[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1

两边相乘：

[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]……[1-b1(-1)^2][1-b1(-1)^1][1-b1(-1)^0]an

={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}……{[b1(-1)^2]x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1

两边的系数都为已知，an已出（只要提供a1）。

如果p、q为具体数，两边可以化简。