关于三次函数fx=ax^3+bx^2+cx+d的定义：假设fx是函数y

对于三次函数fx ax 3 bx 2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导数y

(1)依题意，得：f′（x）=3x 2 -12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2

所以拐点坐标是（2,-2）

(2)设（x 1 ,y 1 ）与（x,y）关于（2,-2）中心对称，并且（x 1 ,y 1 ）在f(x)，所以就有

x 1 =4-x

y 1 =-4-y ,

由y 1 =x 1 3 -6x 1 2 +5x 1 +4，得-4-y=(4-x) 3 -6(4-x) 2 +5(x-4)+4

化简的：y=x 3 -6x 2 +5x+4

所以（x,y）也在f(x)上，故f(x)关于点（2,-2）对称.

三次函数f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d(a≠0)的“拐点”是（-

b

3a ,f(-

b

3a )），它就是函数f(x)的对称中心

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）.

(3),G(x)=a(x-1) 3 +b(x-1) 2 +3(a≠0)，或写出一个具体函数，如G(x)=x 3 -3x 2 +3x+2，或G(x)=x 3 -3x 2 +5x

对于三次函数fx ax3 bx2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导函

(1)f′（x）=3x2-6x+2…（1分）f″（x）=6x-6令f″（x）=6x-6=0得x=1…（2分）f(1)=13-3+2-2=-2∴拐点A(1,-2)…（3分）

(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=x03-3x02+2x0-2，因为P(x0,y0)关于A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0),

把P'代入y=f(x)得左边=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2

右边=（2-x0）3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2∴右边=右边∴P′（2-x0,-4-y0）在y=f(x)图象上∴y=f(x)关于A对称 …（7分）

结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心

②任何三次函数都有“拐点”

③任何三次函数都有“对称中心”（写出其中之一）…（9分）

(3)设G(x)=ax3+bx2+d，则G(0)=d=1…（10分）∴G(x)=ax3+bx2+1,G'(x)=3ax2+2bx,G''(x)=6ax+2bG''(0)=2b=0,b=0，∴G(x)=ax3+1=0…（11分）

法一：

G(x1)+G(x2)

2 ?G(

x1+x2

2 )=

a

2

x 3

1

+

a

2

x 3

2

?a(

x1+x2

2 )3=a[

1

2

x 3

1

+

1

2

x 3

2

?(

x1+x2

2 )3]=

a

2 [

x 3

1

+

x 3

2

?

x 3

1

+

x 3

2

+3

x 2

1

x2+3x1

x 2

2

4 ]=

a

8 (3

x 3

1

+3

x 3

2

?3

x 2

1

x2?3x1

x 2

2

)=

a

8 [3

x 2

1

(x1?x2)?3

x 2

2

(x1?x2)]=

3a

8 (x1?x2)2(x1+x2)…（13分）

当a>0时，

G(x1)+G(x2)

2 >G(

x1+x2

2 )

当aG(x1)+G(x2)

2 x1+x2

2 ）…（14分）

法二：G′′（x）=3ax，当a>0时，且x>0时，G′′（x）>0，∴G(x)在（0，+∞）为凹函数，∴

G(x1)+G(x2)

2 >G(

x1+x2

2 )…（13分）

当aG(x1)+G(x2)

2 x1+x2

2 ）…（14分）

对于三次函数fx ax3 bx2 cx da 0定义：设f x是函数y fx的导函数

(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,

∴f''(x)=6x-6,

令f''(x)=6x-6=0,

得x=1,f(1)=-2

所以“拐点”A的坐标为（1,-2）

(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=x03?3x02+2x0?2

∴P(x0,y0)关于（1,-2）的对称点P'(2-x0,-4-y0),

把P'(2-x0,-4-y0)代入y=f(x)，得左边=？4?y0=?x03+3x02?2x0?2

右边=（2?x0）3?3(2?x0)2+2(2?x0)?2=?x03+3x02?2x0?2

∴左边=右边，

∴P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)图象上，

∴f(x)的图象关于“拐点”A对称.