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N-S方程问题有解了？与黎曼猜想并列，千禧年数学难题胜利在望

　　发布于2024-12-25　阅读（0）

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这是数学中最著名的未解问题之一。新的工作已通过同行评审，全文可看。

起猛了，流体力学迎来自己的超导时刻了？
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最近几天，数学圈内人们正在热烈讨论纳维 - 斯托克斯问题的正则哈密顿公式终于出现了 —— 这个数学史上悬而未决的问题可能有了解答。而在以前，人们甚至普遍认为这是不可能的。

此事有多重要？纳维 - 斯托克斯方程与黎曼猜想一样，在 2000 年被列为「千禧年数学七大难题」。

这七个世界级难题分别是：NP 完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨 - 米尔斯存在性与质量间隙、纳卫尔 - 斯托克斯方程、BSD 猜想。七个问题都被悬赏一百万美元，20 多年来只有「庞加莱猜想」被俄罗斯天才数学家佩雷尔曼解决。

它们大多让人耳熟能详，但「纳维 - 斯托克斯方程」（N-S 方程）在其中似乎较少被人们提及。究其原因，可能是因为这个问题实在太难以理解了（大学上过《流体力学》这门课的同学肯定会有概念）。有人甚至认为，它是数学史上最复杂的公式。

简单来说，十八世纪数学家欧拉在《流体运动的一般原理》中根据无粘性流体运动时流体所受的力和动量变化推导出了一组方程。
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欧拉方程的描述将流体运动规定在了一个理想化世界中，但真正的流体内部是有摩擦的。自然界中的流体都有粘性，统称为粘性流体或实际流体。比如我们搅拌蜂蜜时会感受到粘滞的作用，而飞机飞行所受的阻力也很大程度上来源于空气的粘性。

由于实际流体的粘性，我们对于流体运动的研究就变得非常复杂了。
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在 19 世纪，法国工程师兼物理学家克劳德 - 路易・纳维、爱尔兰物理学和数学家乔治・斯托克斯两人考虑分子间作用力，建立了流体平衡和运动的基本方程，并描述了运动在直角坐标中的分量形式。

这就是后世所说的纳维 - 斯托克斯方程。
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                                 有史以来最可怕的偏微分方程之一。

纳维 - 斯托克斯方程被用于描述像液体和空气这样的流体物质。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率（力）和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力（类似于摩擦力）以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维 - 斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。

对于很多工程问题来说，这至关重要。

如果纳维 - 斯托克斯问题有全局解的话，很多与流体力学有关的技术都会出现突破，包括但不限于航空航天、火箭发动机、天气预测、管道运输、医疗血流建模等等。

关于这组方程所涉及的难题在于：我们该如何用数学理论阐明它。甚至于用数学理论解释描述奇特黑洞的爱因斯坦场方程都会比阐述纳维 - 斯托克斯方程更简单一些。

人们提到的重要突破来自论文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem》，于 4 月 1 日刊登在了流体力学领域顶级期刊《Journal of Fluid Mechanics》上：
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论文链接：https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/canonical-hamiltonian-formulation-of-the-navierstokes-problem/B3EB9389AE700867A6A3EA63A45E69C6

该论文提出了基于最小二乘原理推导的最小作用原理的各向同性纳维 - 斯托克斯问题的新型哈密尔顿公式。该公式使用速度N-S方程问题有解了？与黎曼猜想并列，千禧年数学难题胜利在望和压强N-S方程问题有解了？与黎曼猜想并列，千禧年数学难题胜利在望作为可变化的场量（field quantities），以及从分析中推导出的正则共轭动量。基于此，该研究构造了满足哈密顿正则方程的守恒哈密顿函数 H*，并针对可压缩和不可压缩流制定了相关的哈密顿 - 雅可比方程。这个哈密顿 - 雅可比方程将寻找四个独立场量的问题N-S方程问题有解了？与黎曼猜想并列，千禧年数学难题胜利在望简化成在这些场中找到单个标量泛函（scalar functional）—— 哈密顿的主泛函N-S方程问题有解了？与黎曼猜想并列，千禧年数学难题胜利在望此外，哈密顿和雅可比的变换理论为解决纳维 - 斯托克斯问题提供了一个规定的方法：找到 S*。

如果可以获得 S * 的解析表达式，那么它将通过正则变换得到一组新的场，给出原始速度和压力场的解析表达式，这些场将简单等价于它们的初始值。如果做不到这一点，只能证明哈密顿 - 雅可比方程的完全解存在或不存在，那么也将解决解的存在性问题。

这项新研究可以获得百万美元奖金吗？如果获奖，研究人员必须证明三维不可压缩纳维 - 斯托克斯方程有解，且如果有解，则这些解是平滑的。

数学家陶哲轩（Terence Tao）曾经认为，这很难。
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从目前的进度来看，新的研究已使解决开放问题变得更加容易，我们前进了一大步 —— 已经实现纳维 - 斯托克斯方程的正则哈密顿量公式，可能意味着我们可以绕过标准拉格朗日量的限制，将问题简化为寻找单个标量函数。

或许距离解决千禧年难题的第二题已经不远了。

参考内容：
https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/navier-strokes-equation/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/263628141
https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/
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