C++判断素数方法及代码实现

is_prime函数需正确处理边界：小于2的数非素数，2是素数，偶数中仅2为素数；常见错误是遗漏n==2特判或误判n≤1情况。

判断单个整数是否为素数：用 is_prime 函数最稳妥

直接写循环试除是最常用、最易理解的方式。关键不是“快”，而是“不漏判、不误判”。is_prime 必须正确处理边界：小于 2 的数（如 0、1、负数）一律不是素数；2 是最小的素数；偶数中只有 2 是素数。

常见错误是忘记 n == 2 的特判，或把 n <= 1 写成 n < 2（漏掉 1），又或者循环上限写成 i < n 导致超时。

• 只试除到 sqrt(n)，用 i * i <= n 避免浮点误差和类型转换
• 先特判 n < 2 和 n == 2，再排除所有偶数（n % 2 == 0）
• 后续只检查奇数因子：从 3 开始，步长为 2

bool is_prime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    if (n == 2) return true;
    if (n % 2 == 0) return false;
    for (int i = 3; i * i <= n; i += 2) {
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

批量求 [2, N] 内所有素数：用埃氏筛（sieve_of_eratosthenes）

当需要判断多个数、或列出一段区间内全部素数时，挨个调用 is_prime 效率极低。埃氏筛是 C++ 中最实用的预处理方案，时间复杂度约 O(N log log N)，空间 O(N)。

容易踩的坑包括：数组开小了（下标越界）、没初始化为 true、内层循环从 i * i 开始却未考虑溢出、标记时用了 i + i 而非 i * i 导致重复工作。

• 布尔数组大小至少为 N + 1，索引 0～N 对应数字 0～N
• prime[0] = prime[1] = false 必须显式设置
• 外层循环只需到 sqrt(N)，但建议写成 i * i <= N
• 内层循环起始点是 i * i，不是 2 * i（前者跳过已筛过的合数）

vector sieve_of_eratosthenes(int N) {
    vector prime(N + 1, true);
    prime[0] = prime[1] = false;
    for (int i = 2; i * i <= N; ++i) {
        if (prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= N; j += i) {
                prime[j] = false;
            }
        }
    }
    return prime;
}

大数（如 long long）素数判断：用 Miller-Rabin 概率算法

当 n 达到 1e12 以上，试除法就不可行了。C++ 标准库没有内置 Miller-Rabin，但可用几个固定底数（如 2, 3, 5, 7, 61）实现对 unsigned long long 范围内确定性判断（即 100% 正确）。

难点在快速幂模运算中防止乘法溢出：必须用 __uint128_t（GCC 扩展）或手写 mul_mod 函数做模乘。否则 a * b % mod 在 a,b 接近 1e18 时直接溢出。

• 对 n < 2^64，用底数 {2, 3, 5, 7, 61, 24251} 可完全确定
• 实际工程中，前 6 个底数已覆盖全部 unsigned long long 范围
• 不要用随机底数——确定性场景下，固定底数更快更稳

常见误用与性能陷阱

很多人一上来就用 sqrt(n) 函数，但它返回 double，对大整数有精度丢失；还有人写 for (int i = 2; i <= sqrt(n); ++i)，每次循环都重新算 sqrt，既慢又错。

• 永远用 i * i <= n 替代 i <= sqrt(n)
• 避免在循环条件里调用任何函数（尤其是浮点函数）
• 用 int 判断时注意 n 最大只能到约 2e9，超过要用 long long 并同步改循环变量类型
• STL 容器如 vector 是位压缩特化，访问慢于 vector，高频筛素数时可考虑后者

真正难的不是写出一个能跑的版本，而是让边界、类型、溢出、性能这四件事同时不出错。尤其在竞赛或嵌入式环境里，少一个 long long 或多一次隐式转换，就可能卡在某个大样例上。