详解一道反三角函数的定积分问题

一道反三角函数的定积分题目麻烦详细过程

∫ （arcsinx）² dx

= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²

= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√（1 - x²） • dx

= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√（1 - x²） dx

= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√（1 - x²）]

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√（1 - x²） - 2∫ √（1 - x²） d(arcsinx)

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√（1 - x²） - 2∫ √（1 - x²）/√（1 - x²） dx

= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√（1 - x²） - 2x + C

这是不定积分

定积分就代入就有了

反三角函数的原函数

用分部积分法得：

I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arcsinx + (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arcsinx + √（1-x^2） +C

I = ∫ arccosx dx = x arccosx + ∫ [x/√（1-x^2）] dx

= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√（1-x^2）] d(1-x^2) = x arccosx - √（1-x^2） +C

I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1+x^2)] dx

= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1+x^2)] d(1+x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1+x^2) +C

它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。

扩展资料：

函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是尖端的）；为了使研究方便，常要所选择的区间包含0到π/2的角。

所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsin x。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

参考资料来源：百科——反三角函数

反三角函数的不定积分如何证明

.积分区间对称的先看式中有没有奇函数，比如这道题平方展开为：1+2x(1-x^2)^1/2，注意到2x(1-x^2)^1/2是奇函数，所以它在对称区间的积分为0，仅剩＂1＂，所以结果为2

2.出现arctan,ln之类的一定要想办法对其做导数，x*arctanx，要想对arctanx做导，就必须用分部积分：

把x放到后面，原积分式化为：1/2arctanx d(x^2)，分部积分后半部的积分式为（x^2）/(1+x^2)，这个应该会积了吧，关键是要知道对arctan导

此题结果为：1/2(x^2*arctanx - x + arctanx + C)

这边只要多做题思路就通了，真正难的在后面的多重积分和曲面曲线积分，可以说是变态级的

分部积分公式推导

分部积分公式是非常重要的的一个公式，有了它能在某些积分题目中利用公式快速的解出答案。同时也能在某些被积函数不能直接找到原函数的情况下解出答案。

扩展资料：

1.分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。

2.它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接结果的积分形式，转化为等价的易出结果的积分形式的。

3.常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

4.不定积分的公式（1）、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数

(2)、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

(3)、∫ 1/x dx = ln|x| +

(4)、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠

(5)、∫ e^x dx = e^x + C

(6)、∫ cosx dx = sinx +

(7)、∫ sinx dx = - cosx + C

(8)、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

5.不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f(x)的函数，再把f(x)看为一个整体，出最终的结果。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f'(x)dx=df(x)变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx这样的公式，当然x可以换成其他g(x)。

参考资料：百科：分部积分法